A Primeira Lei de Kepler - Lei das Órbitas

A primeira lei de Kepler indica que a órbita circular é um caso muito especial, e que órbitas elípticas são a situação geral:

Todo planeta no Sistema Solar descreve uma órbita elíptica com o Sol em um dos focos.

A figura 1.1 mostra a geometria de uma elipse, que serve como nosso modelo geométrico para a órbita elíptica de um planeta. Uma elipse é definida matematicamente pela escolha de dois pontos, F1 e F2, cada um deles chamado foco, e então traçando uma curva através de pontos para os quais a soma das distâncias r1 e r2 até F1 e F2 é constante. A maior distância entre pontos sobre a elipse passando pelo centro (e por ambos os focos) é chamada eixo maior, e esta distância é 2 a. Na figura 1.1 o eixo maior é traçado ao longo da direção x.A distância a é chamada semi-eixo maior. Similarmente, a menor distância entre pontos sobre a elipse passando pela origem é chamada eixo menor, de comprimento 2b, em que a distância b é o semi-eixo menor. Qualquer um dos focos da elipse está a uma distância c do centro da elipse, em que a²=b²+c². Na órbita elíptica de um planeta ao redor do Sol,o Sol está em um dos ocos da elipse.Nada está sobre o outro foco.

A excentricidade de uma elipse é definida como e=c/a e descreve a forma geral da elipse. Para um círculo, c =0, e, portanto, a excentricidade é nula. Quanto menor for b comparando com a, mais curta será a elipse ao longo da direção y comparada com sua extensão na direção x na Figura 1.1. Quando b diminui, c aumenta, e a excentricidade e também aumenta.Assim,valores mais altos da excentricidade correspondem a elipses mais longas e mais delgadas.O intervalo de valores da excentricidade para uma elipse é e ≤ 1.Excentricidades maiores que 1 correspondem a hipérboles.

As excentricidades das órbitas planetárias variam amplamente no Sistema Solar. A excentricidade da órbita da Terra é de 0,017, o que a torna aproximadamente circular. Por outro lado, a excentricidade da órbita de Plutão é de 0,25, a maior dentre todos os nove planetas. A Figura 1.2a mostra uma elipse com a excentricidade da órbita de Plutão. Observe que é difícil distinguir de um círculo mesmo essa órbita com a maior excentricidade. Este é o motivo pelo qual a primeira lei de Kepler é um feito admirável.

A excentricidade da órbita do comete Halley é de 0,97,descrevendo uma órbita cujo eixo maior é muito mais longo que seu eixo menor,como mostrado na Figura 1.2b.Como resultado disso,o cometa Halley passa boa parte do seu período de 76 anos longe do Sol e invisível da Terra.Ele só é visível a olho nu durante uma parte pequena de sua órbita,quando está próximo do Sol.

Imaginemos agora um planeta em uma órbita elíptica tal como aquela mostrada na Figura 1.1,com o Sol no foco F2.Quando o planeta está na extremidade esquerda do diagrama,a distância entre o planeta e o Sol é a a+c.Esse ponto é chamado afélio,onde o planeta está,em órbita,o mais afastado possível do Sol(para um corpo em órbita ao redor da terra,este ponto é chamado apogeu).Inversamente,quando o planeta está na extremidade direita da elipse,o ponto é chamado periélio (para uma órbita ao redor da Terra,perigeu),e a distância entre o planeta e o Sol é a-c.

A primeira lei de Kepler é uma conseqüência direta da natureza do inverso do quadrado da força gravitacional. Discutimos órbitas circulares e elípticas. Essas são as formas permitidas das órbitas para corpos que estão ligados ao centro de força gravitacional. Esses corpos incluem planetas, asteróides e cometas que se deslocam repetidamente ao redor do Sol, assim como luas orbitando um planeta. Corpos não ligados também ocorrem, como um meteoróide do espaço distante que pode passar uma vez perto do Sol e então nunca retorna. A força gravitacional entre o Sol e esses corpos também varia com o inverso do quadrado da distância de separação,e as trajetórias permitidas para esses corpos são parábolas e hipérboles.