Newton e a Lei da Gravitação Universal

Isaac Newton, nascido em 25/12/1642, em Woolsthorpe. Filho póstumo de um fazendeiro, teve de custear seus estudos trabalhando. Com a ajuda de um tio conseguiu entrar em Cambridge em 1661. Quando se bacharelou em 1665, seu professor de matemática(Isaac Barrow) encorajou-o a permanecer em Cambridge.
Naquela época, em que Newton bacharelou-se, houve uma disseminação de uma peste por Londres(Naquela época era uma cidade muito poluída e com péssimo saneamento). Depois houve(um ano mais tarde) o grande incêndio de Londres, que arrasou dois terços da cidade. Com isso, Isaac Newton ficou de 1665 a 1666 em sua fazenda de Woolsthorpe, depois do fechamento da Universidade. Cinquenta anos mais tardes foram dados descrições(pelo próprio Newton) sobre o que foi feito por ele durante esse período .
"No princípio de 1665, achei o método para aproximar séries e a regra para reduzir qualquer potência de um binômio a uma tal série" (binômio de Newton e série binomial). "No mesmo ano, em maio, achei o método das tangentes de Gregory e Slusius" (fórmula de interpolação de Newton) e em novembro o método direto das fluxões" (cálculo diferencial); " no ano seguinte em janeiro, a teoria das cores" ( experiências com o prisma sobre decomposição da luz branca), "e em maio os princípios do método inverso das fluxões" (cálculo integral), "e no mesmo ano comecei a pensar na gravidade como se estendendo até a órbita da lua, e ...da lei de Kepler sobre períodos dos planetas...deduzi q as forças que mantém os planetas em órbitas devem variar inversamente com os quadrados de suas distâncias aos centros em torno dos quais as descrevem: tendo então comparado a força necessária para manter a lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da terra, e encontrado que concordavam bastante bem. Tudo isso foi feito nos dois anos de peste, 1665 e 1666, pois naqueles dias eu estava na flor da idade para invenções e me ocupava mais em matemática e filosofia" (física) " do que em qualquer época posterior.
Para efetuar o calculo da força gravitacional a que Newton se refere, ele já devia dispor da formulação dos princípios fundamentais da dinâmica, embora n o se refira explicitamente a isso. Todos esses resultados foram obtidos por Newton em sua fazenda, entre 23 e 24 anos de idade.

A lei da gravitação para órbitas circulares

Para diversos planetas a excentricidade da órbita elíptica é muito pequena, de modo que podemos tomar a órbita como circular, com muito boa aproximação- o que também se aplica à lua. A órbita circular é bem mais fácil de tratar do que a elíptica, de modo que vamos reconstruir o argumento de Newton para esse caso.
Para uma órbita circular, a 2ª lei de Kepler implica que o movimento é uniforme. A aceleração neste caso é centrípeta, e é dada, para uma órbita circular de raio R e de velocidade angular ω = 2π/T (T = período) por:
a = -ω²Rr= -4π²Rr/T²

onde (r) é o vetor unitário na direção radial. Se m é a massa do planeta, a força que atua sobre ele é dada pela lei 2ª lei de Newton.
F=ma=-4π²mRr/T²

que é uma força atrativa central(dirigida para o sol). Pela 3ª lei de Kepler, temos R³/T²=C=constante onde C tem o mesmo valor para todos os planetas. Logo, podemos reescrever F=ma=-4π²mRr/T² como F=-4π²Cmr/R².
Vemos assim que a lei dos períodos de kepler leva a conclusão de que a força gravitacional varia inversamente proporcional com o quadrado da distancia do planeta ao sol. Ela é também proporcional à massa do planeta. Pela 3º lei de Newton, o plantea exerce uma força igual e contrária sobre o sol, a qual deve também ser proporcional à massa M do sol. Newton foi assim levado à expressão F=-G(mM/R²)r.
Onde G seria uma “constante universal”, característica da força gravitacional. Esta é a lei de Newton da gravitação já citada anteriormente. Uma vez inferida a forma de lei, vejamos o que Newton fez para testá-la.

A Lua e a maçã

Em sua "Philosophie de Newton" (1738), Voltaire conta: "Um dia, no ano de 1666, Newton, entrou em sua fazenda, vendo uma fruta cair de uma árvore, segundo me disse sua sobrinha, Mme. Donduit, começou a meditar profundamente sobre a causa que atrai os corpos na direção do centro da Terra."
A história provavelmente é apócrifa, mas o próprio Newton confirma, no trecho acima citado, que comparou naquele ano "a força necessária para manter a Lua em sua órbita com a força da gravidade na superfície da Terra". Vamos fazer essa comparação para o caso da maçã, adotando a notação: T = Terra; L = Lua, C = Maçã .
Os módulos das forças mencionadas obtém-se aplicando a:
Sejam Al e Ac os módulos das acelerações da Lua e da maçã ; esta última é igual a g (aceleração da gravidade na superfície da Terra). Além disso, Rrl = Rr (raio da terra). Temos então:

onde a última expressão coincide com g = M G / R² . Portanto

onde G se cancela. Por outro lado, onde Tl é o período de rotaç o da Lua em torno da Terra, que é 27,3 d. A verificaç o da equaç o acima depende portanto apenas do conhecimento de Rr e de Rrl. Já vimos como Erastóstenes havia medido Rr no século II A.C.. Outro astrônomo grego, Hiparco de Rodes, conseguira calcular a distância Terra-Lua Rtl por volta de 130 A.C..

A distância Terra-Lua

Hiparco baseou-se em observaç es da duração de um eclipse total da Lua. Esa duraç o é o tempo decorrido entre a entrada (em A) e a saída (em B) da Lua no cone de sombra projetado

pela Terra (fig. acima). A abertura angular do cone de sombra coincide com o diâmetro angular aparente á do Sol visto da Terra (que, por coincid ncia, é quase exatamente o mesmo que o da Lua). Hiparco mediu o valor de á e obteve

Hiparco observou que o ângulo è descrito pela Lua durante o eclipse total é de aproximadamente 2,5 vezes o diâmetro angular aparente da Lua, ou seja, è 2,5 á . Por outro lado, levando em conta que Rtl >> Rr, a fig. acima mostra que, com muito boa aproximação,

O que, levando em conta , dá:

levando Hiparco a concluir que a distância da Terra Lua é de 59 vezes o raio da Terra. Na época de Newton, outras determinações já haviam sido feitas, levando a valores entre 60 e 60.5 (o valor atualmente aceito é 60.3). Newton usou o valor de 60, obtendo assim Al / g 1 / 3.600 o que concorda com o valor calculado da aceleração centrípeta da Lua. Daí a afirmação de Newton de que "concordavam bastante bem".
Newton realizou assim uma das mais notáveis síntese da história da ciência, relacionando a queda dos corpos na superfície da Terra com a órbita da Lua – primeiro passo no tratamento da mecânica celeste.